dy/dx는 처음 변화율 ∆y/∆x로 부터 나왔고 ∆y/∆x에서 ∆x가 0으로 갈 때의 극한값을 dx로 한 것입니다. 그래서 원래 dy/dx는 분수의 형태가 맞습니다. 그리고 분자와 분모의 분리가 가능합니다.
단, 따로 변할 수는 없고 dy는 dx에 종속됩니다.
그런데 사용하면서 dy/dx의 의미가 좀 다양해졌습니다. 연산자의 개념이 도입된 것입니다.
dy/dx가 x에 대한 y의 미분, 즉 y를 x에 대해 미분하는 것이므로 d/dx를 x에 대한 미분연산자로 볼 수 있다는 것입니다. 그래서 그 연산자를 D (= d/dx)로 나타내기도 합니다.
다시 말해 y' = dy/dx이지만 y'이 미분만을 의미하는데 반해(즉 y' = [d/dx]y의 의미) dy/dx는 미분이라는 전체적 개념뿐 아니라 ∆y/∆x같이 변화비율을 나타내 dy, dx처럼 미소변화량으로 따로 떼어내 사용할 수도 있다는 것입니다. 적분에 나타나는 dx는 바로 이 미소변화량이라는 개념으로 사용된 것입니다.
그리고 적어도 dy가 dx에 종속되는 관계로 극한의 변화량의 비라는 의미를 유지하는 한 분수의 분자와 분모처럼 얼마든지 자유롭게 분리하여 사용할 수 있습니다.
한편 dy = xydx는 단순히 dy/dx = xy일 수도 있지만 dy/dt = xydx/dt에서 매개변수 t의 미소변화량 dt를 '약분'하여 나타낸 것이 될 수도 있습니다. 이렇게 dx, dy를 분자나 분모처럼 서로 떼어내 사용하는 것은 편법이 아니라 원래 처음 만들어졌을 때의 의미로 되돌아가 사용하는 것입니다.
따라서 dy/dx 같은 표기를 분수처럼 사용하면
dyⁿ/dx = dyⁿ x (dy/dy) /dx = (dyⁿ/dy)(dy/dx) = nyⁿ-¹dy/dx
가 성립되는데 이것을 체인룰(chain rule)이라고 합니다.
그리고 d²y/dx²는 d(dy/dx)/dx, 즉 dy/dx을 다시 x에 대해 미분한 것으로 d(dy/dx)/dx를 보면 분모에 미분을 뜻하는 d가 2번 겹쳐지므로 이것을 d²으로 표시하고 두 번의 미분이 모두 x에 대한 미분이므로 dx²으로 표현한 것 뿐입니다. 이건 단지 a를 3번 곱한 것을 a³이라고 쓰기로 약속하는 것처럼 y를 x에 대해 두 번 미분한 것을 d²y/dx²으로 표기하기로 한 것으로 표기